שיעור 89 – היפרבולה – הגדרה ומשוואה קנונית

הגדרה: היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש מרחקיהן משתי נקודות קבועות הוא מספר קבוע. שתי הנקודות הקבועות נקראות מוקדי ההיפרבולה.

כשהמוקדים נמצאים על ציר ה־x , סימטריים לראשית הצירים, מקבלים את המשוואה הקנונית של ההיפרבולה:

הקשר בין המספרים: c הוא המרחק של כל מוקד מראשית הצירים, ומתקיים c² = a² + b² . שימו לב: באליפסה יש מינוס (c² = a² − b²), ובהיפרבולה יש פלוס.

להיפרבולה יש שני ענפים, אחד מימין ואחד משמאל, והיא סימטרית לציר ה־x , לציר ה־y ולראשית הצירים. בסרטוט: ההיפרבולה בכחול, ושני הישרים המקווקווים בסגול הם האסימפטוטות שלה (נלמד עליהן בהמשך).

נסמן נקודה כללית על המקום הגאומטרי: P(x , y) .

הערך המוחלט של ההפרש שווה ל־8, ולכן ההפרש שווה ל־8 או ל־−8 :

מעבירים את PF₂ לצד ימין:

מעלים את שני הצדדים בריבוע. בצד ימין משתמשים בנוסחת הכפל המקוצר:

מעבירים את PF₂² לצד שמאל:

את ריבועי המרחקים כותבים לפי נוסחת המרחק (בריבוע, בלי שורש):

נחשב את ההפרש PF₁² − PF₂² . ה־y² מצטמצם:

מחסרים: x² ו־25 מצטמצמים, ונשאר:

נציב PF₁² − PF₂² = 20x :

מחלקים את שני הצדדים ב־4:

מעלים שוב בריבוע (הסימן ± נעלם, כי ריבוע הוא תמיד חיובי):

נציב PF₂² = (x − 5)² + y² :

פותחים סוגריים בכל צד בנפרד:

ובצד ימין נוסף גם 16y² .

הביטוי −160x מופיע בשני הצדדים ומצטמצם, ונשאר:

מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים:

מחלקים את שני הצדדים ב־144, כדי לקבל 1 בצד ימין:

קיבלנו היפרבולה קנונית: a² = 16 , b² = 9 . נבדוק את הקשר c² = a² + b² :

אכן המוקדים הם (±5 , 0) , כמו בנתונים.

נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את המקומות של x ושל y :

נציב x = 5 , y = 94 :

הצד השמאלי שווה ל־1, ולכן הנקודה A נמצאת על ההיפרבולה.

בדיקה לפי ההגדרה – נחשב את המרחקים של A מהמוקדים:

הפרש המרחקים הוא 8, בדיוק כמו בהגדרה. ✓

נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את המקום של x :

נציב x = 8 :